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梯度的几何意义

梯度的本意是一个向量(矢量),表示某一函数在该点处的方向导数沿着该方向取得最大值,即函数在该点处沿着该方向(此梯度的方向)变化最快,变化率最大(为该梯度的模).

以二元函数f(x,y)为例,首先f(x,y)在某点(x0,y0)处的梯度是一个向量,它的方向就是函数f(x,y)在该点函数值变化最快的方向,即方向导数最大的方向,它的模就等于该点方向导数的最大值.

如果f(x,y)定义在x,y平面,则梯度在这平面的每个点定义了一个向量, 其方向是f增加最快的方向,其大小是这个方向上的单位向量v的方向导数v(f). 爬山的时候,最陡的那个方向,就是梯度的方向,而越陡,则梯度向量越大.你说的对,是在地面的投影.我那么写,只是为了表述的时候不那么麻烦.上面所说的方向,都是定义域所在平面,而不是图象所在空间的方向.

方向导数就是一个曲面上的某点(x,y),从该点起始沿特定方向函数的变化率.可以类比成:有一个山峰,你站在山顶观察,北坡较陡南坡较缓.梯度:梯度本质就是一个向量.一个曲面上某点(x,y),梯度是由该点偏导数得出的向量(a,b).可以类比成:你站在该点,按照向量所指的方向下山最快.

梯度方向就是经过该点的等值线(面)的法向量,指向函数值较大的等值线(面),该方向函数在该点增长最快,也就是方向导数最大.

你好,梯度本意是一个向量(矢量),当某一函数在某点处沿着该方向的方向导数取得该点出的最大值,即函数在该点处沿方向变化最快,变化率最大(为该梯度的模).

下面的叙述是个人理解,也许不是十分严密,请参考.偏导数:函数在某点处延坐标轴正向,随着该自变量的变化,而引起的函数值的变化率.方向导数:函数在某点的任一方向上,随着该自变量的变化,而引起的函数值的变化率.因此

梯度是函数变化率最大的方向向量. 散度描述向量沿闭曲面积分,若散度>0,流出大于流入,说明闭曲面内有源泉,旋度描述向量沿闭曲线积分环量最大的方向及强度.

沿着坐标轴方向的变化率

Your understanding is correct:"山坡在某一点最陡方向的“坡度”"

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