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设A为m阶方阵,存在非零的m×n矩阵B,使AB=0的充分...

由AB=0,而且B为非零矩阵,所以存在B的某个列向量bj为非零列向量,满足Abj=0. 即方程组AX=0有非零解,所以|A|=0;反之:若|A|=0,则AX=0有非零解,则存在非零矩阵B,满足AB=0. 所以,AB=0的充分必要条件是:|A|=0.

因为A是m*n矩阵,则r(A)假设r(A)=n,则方程AX=0只有零解(因为其解空间的维数=n-r(A)=0)又AB=O,则对于B的每个列向量b,均有Ab=O即b为方程AX=0的解,故b=O,从而B=O与条件B非零矛盾,假设不成立,r(A) 作业帮用户 2017-11-14 举报

若存在非零矩阵B使得AB=0可见B的列向量都是齐次线性方程组AX=0的解向量,因为B为非零矩阵,即齐次线性方程组AX=0有非零解,由齐次线性方程组AX=0有非零解的充要条件知|A|=0.

可以用齐次线性方程组有非零解的条件证明.

证明: (=>)因为AB=0, 所以B的列向量都是AX=0的解.又因为B≠0, 所以AX=0有非零解.所以 r(A)

用反证法.若R(A) =N,则A可逆.A^(-1)[AB] = A^(-1)*0 = 0,又A^(-1)[AB] = B ,因此,B=0.与B不等于0矛盾.故,R(A)

因为ab=0r(a)+r(b)=1r(a) 评论0 0 0

证明:|a|=0 即ax=0 存在非零解那么若x1为ax=0的解向量,则利用x1,构成解矩阵b 即可b=(x1,x2,…,xn),其中x1不等于0, x2=x3=…=xn=0而b为非零矩阵,即为所求

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